ECUACIONES CON RADICALES

 

Para resolver una ecuacion que comprende radicales se efectuan los siguientes pasos:

1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demas terminos.

2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuacion obtenida y se igualan entre si

(depende del ındice de la raız involucrada).

3. Si la ecuacion obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene

uno o mas radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuacion sin radicales. Luego se

resuelve esta ultima ecuacion.

4.Se sustituyen en la ecuacion original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las

raıces extranas.

El proceso de liberar la ecuacion de radicales se conoce con el nombre de racionalizacion de la ecuacion.

Ejemplo:

1º Aislamos el radical:

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3ºResolvemos la ecuación:

4ºComprobamos:

La ecuación tiene por solución x = 2.

Respuesta:

La ecuación tiene por solución x = 4.

 

EJERCICIO DE CUADRÁTICA EN VIDA COTIDIANA

Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba, la altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros en función del tiempo medido en segundos se calcula atreves de la siguiente formula. 

h(t)= -5x^{2 +}  20t + 0

a= 5

b=20

c=0

El valor de x es el tiempo.

El valor de y es la altura maxima.

 

 Respuesta:

Altura maxima=20metros

Tiempo de vuelo =4 segundos

APLICACION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

 

Resolución:

 

1. Cualquier número par puede expresarse en la forma   2x.

 

2. Sea pues   2x   un número par. El par consecutivo de  2x  es  2x + 2.

 

3. El producto de los dos números es 168:  2x(2x + 2) = 168.  Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver.

 

4. 2x(2x + 2) = 168 

    4x² + 4x - 168 = 0.

 

5. Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta   x² + x - 42 = 0.

 

 

 

6. Si  x = 6,  2x + 2 = 12 + 2 = 14

 

Una solución es 12 y 14.

 

7. Si  x = -7,  2x + 2 = -14 + 2 = -12

 

Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son  -14 y -12.

 

El problema tiene dos soluciones:  12 y 14; -12 y -14.

FUNCION CUADRATICA

CONCAVIDAD DE LA PARABOLA.

EJE DE SIMETRIA Y VERTICE

DISCRIMINANTE EN LA ECUACION CUADRATICA.

 EJEMPLO DE UNA EXPRESION CUADRATICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA.

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado es aquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax² + bx + c igual a cero.

a x² + bx + c = 0

EJEMPLO: 

Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 se obtiene una ecuación lineal o de primer orden)

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca será una parábola. Este tipo de funciones tiene como característica que cuando a>0 el vértice de la parábola en la parte inferior de la misma, cuando a<0 el vértice se encuentra el la parte superior.

En la función cuadrática, f(x) = ax² + bx + c, el coeficiente (c) indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta el eje (y).

 

CONCAVIDAD DE LA FUNCIÓN

En la función cuadrática, f(x) = ax² + bx + c, el coeficiente (a) indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

 

SOLUCION DE UNA SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE SUSTITUCION.

Para encontrar la solución se necesita que esté asociada a otra ecuación que no sea equivalente, de modo que se obtenga un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por ejemplo:

x+y=12x−y=5}

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

 
Ejemplo: 
 

Pasos para realizar este método

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución

SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO DE IGUALACION.

El método de igualación, consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.

x+y=3x−y=−1}

Si se despeja x en ambas se tiene que:

x=3−yx=−1+y}

Este sistema es equivalente al primero, puesto que sólo han cambiado de posición algunos términos. Lo importante es que como el valor de x ha de ser el mismo en ambas ecuaciones se pueden igualar las expresiones obtenidas, de modo que: 

 3−y=−1+y

Que es una ecuación lineal con una incógnita cuyo valor se puede averiguar rápidamente 

 −y−y=−1−3⇒−2y=−4⇒y=−4−2=2

Para hallar el valor de x sólo hay que sustituir el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Si se usa la primera: 

x=3−y⇒x=3−2=1

De modo que la solución a este sistema es x=1,y=2.

REPRESENTACION GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL DE PRIMER GRADO.

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

donde m y b son constantes reales y  (x) es una variable real.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA 
 

PRESENTACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO.