ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

 

Resolver una ecuación es encontrar un valor numérico que permita cumplir la igualdad. Cuando esta definición se suma con la definición de valor absoluto, se tendrán entonces dos valores que cumplan con ambas definiciones: Valor Absoluto: siempre valor positivo; ecuación: cumplir con la igualdad.

 

Los Objetivos de este artículo:

 

1) Mostrar como resolver una ecuación sencilla con valor absoluto

2) Como representar la solución, dos formas. Una analítica y otra en forma de conjunto.

Observa ahora la siguiente imagen, estudia el procedimiento.

 

Ejemplo 1:

Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.

En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación.  

Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.

Vamos a resolver la ecuación:

∣ x - 20 ∣ = 6

Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:

x - 20 = - 6 

x - 20 + 20 = - 6 + 20

 x = 14

 

x - 20 = 6

x - 20 + 20 = 6 + 20

 x = 26 

 

Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo. 

 

Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila cumple con ser ≤ 6 .

La solución se puede expresar de distintas formas:

    Expresando la solución como conjunto:

    x 14 ≤ x ≤ 26

 
    Expresando la solución como intervalo

    [ 14 , 26 ]

    Gráficamente