FUNCION
Una
función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando
cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con
un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una
función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una
única flecha.
No estamos en presencia de una función cuando:
- De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.
- De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.
A
veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto
de valores de la variable para los que la función existe (para los que
la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.
Una
función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan
todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se
obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se
llama recorrido de la función.
CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES
- Función Inyectiva:
Una
función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de
exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos
los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.
Para
determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio
de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales
para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.
Ejemplo:
- Función Sobreyectiva:
Sea
f una función de A en B , f es una función epiyectiva (tambien llamada
sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un
elemento de A , bajo f .
A elementos diferentes en un conjunto
de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada.
Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 }
f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }
Simbólicamente:
f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva
Ejemplo:
- Función Biyectiva:
Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.
Ejemplo:
A = { a , e , i , o , u }
B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }
Teorema:
Si f es biyectiva , entonces su inversa f - 1 es también una función y además biyectiva.
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