VALOR ABSOLUTO

 

El valor absoluto de un número es, el mismo número si el número es positivo o cero, y el opuesto si el número es negativo.

Se suele decir que el valor absoluto de un número es el número sin tener en cuenta su signo. Por ejemplo: abs (5) = |5| = 5, abs ( 3´4) = |3´4| = 3´4 abs (-2 ) = | -2| = 2, abs ( 0) = |0| = 0, abs ( -34´7) = | -34´7| = 34´7

Sirve por ejemplo para calcular la distancia entre dos puntos: La distancia entre los puntos x = 5 y x = 7 es d = | 7 - 5| = 2

Claramente la distancia entre x = 7 y x = 5 es la misma por lo que d = | 5 - 7| = | -2| = 2

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.


Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6.
Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.
En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número.
De modo general, el valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

¿COMO SE RESUELVE EL VALOR ABSOLUTO?

Vamos a empezar primero por la definición de valor absoluto.

El valor absoluto es una función el cual siempre devuelve un valor positivo. El valor absoluto se denota así:

f(x) = |x|

Y los posibles resultados son:

f(a) = |a| = a

f(-a) = |-a| = -(-a) = a

Lo anterior significa que si el argumento de la función valor absoluto es positivo, entonces la función devuelve su argumento sin tocarlo, si embargo, si el argumento es negativo entonces multiplica el valor del argumento por -1 y se vuelve positivo.

Un ejemplo numérico:

f(5) = |5| = 5

f(-5) = |-5| = -(-5) = 5

Fácil, verdad?

Ahora vamos a complicarlo un poco más, que pasaría si el argumento fuese una función en vez de un valor constante? es decir, que pasaría si se tiene lo siguiente?:

|2x - 1| =???

Pues habría dos posibles soluciones, partiendo de la definición de valor absoluto tendríamos:

|2x - 1| = 2x - 1 si x > 0

|2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x si x < 0

Y listo, problema resuelto. Pero el valor absoluto también se presente con desigualdades:

|x - 7| < 4

Como crees que se podría resolver esta desigualdad?

Pues de nuevo, partimos de la de f. de valor absoluto:

|x - 7| < 4 ==> x - 7 < 4 si x > 0

|x - 7| < 4 ==> -(x - 7) < 4 ==> 7 - x > -4 si x < 0

Fíjate lo que paso en la última desigualdad. Cambió el signo. Por qué? pues por que multiplicamos por -1 y cuando hacemos esto el signo de la desigualdad se invierte. Es decir si tenemos algo así:

x < 7 y multiplicamos por -1 quedaría:

-x > -7