Función trigonométrica

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: $\alpha$ , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo $\alpha$ .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo $\alpha$ .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

$\sin \alpha ={\frac {{\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}}{{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}}={\frac {a}{h}}.$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo $\alpha$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

$\cos \alpha ={\frac {{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}{{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}}={\frac {b}{h}}.$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

$\tan \alpha ={\frac {{\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}}{{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}}={\frac {a}{b}}.$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

$\cot \alpha ={\frac {{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}{{\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}}}={\frac {b}{a}}.$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

$\sec \alpha ={\frac {{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}{{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}}={\frac {h}{b}}.$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

$\csc \alpha ={\frac {{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}{{\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}}}={\frac {h}{a}}.$

Funciones trigonométricas de ángulos notables

	0°	30°	45°	60°	90°
sen	0	${\frac {1}{2}}$	${\frac {{\sqrt {2}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {3}}}{2}}$	1
cos	1	${\frac {{\sqrt {3}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {2}}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	0
tan	0	${\frac {{\sqrt {3}}}{3}}$	1	${\sqrt {3}}$	$\infty$